自作の授業例 ／ 積の微分
なぜ、途中で
「足して引く」の？
一般に、積の微分は、微分したもの同士の積ではありません。両方が変わるときの変化を、二つに分けます。
(uv)′ = u′v + uv′
- 前提を確かめるuとvは同じ開区間で微分可能。′はxでの微分です。
- 変化を二つに分ける同じ項を足して引くと、uの差とvの差が現れます。
- 自分の言葉で確かめる「どちらの変化を取り出したか」を説明してみます。
式の一手と、微分の定義をつなぐ
xとx+hが区間内にあるh ≠ 0を取り、A = u(x)、B = v(x)、Ah = u(x+h)、Bh = v(x+h)と置きます。下の式は省略記号で書いた、積の変化です。
AhBh − AB= AhBh − ABh + ABh − AB= (Ah − A)Bh + A(Bh − B)
ABhを足して引いても値は変わりません。目的は、微分の定義で使う「関数の差」をそれぞれ取り出すことです。
(AhBh − AB) / h= [(Ah − A) / h] Bh + A [(Bh − B) / h]
h → 0で二つの差商はu′(x)、v′(x)へ。vは微分可能なので連続で、Bh → Bです。したがって積の微分はu′(x)v(x) + u(x)v′(x)となります。
確認：なぜABhを選ぶと、二つの微分につながるのでしょう？ 最後の二つの差商を指しながら説明してみてください。
別の例を、自分で確かめる
H(x) = x²(x − 1)を、積の微分で微分してください。二つの項がそれぞれ何の変化を表すかも説明してみましょう。
取り組んだあとに、解答・理由を見る
H′(x) = 2x(x − 1) + x² = 3x² − 2x。第一項はx²の変化を、第二項はx − 1の変化を取り出したものです。先にH(x) = x³ − x²と展開して微分しても一致します。x = 1ではH′(1) = 1で、微分同士を掛けた2とは異なります。
一問の正誤だけで理解度や必要回数は決めません。説明の様子も踏まえて、次の練習を選びます。